Fonctionne sous FireFox 40 et Internet Explorer 10 :

<video width="320" height="240" controls>
    <source src="video.webm" type="video/webm">
    <source src="video.mp4" type="video/mp4">
    Je suis désolé, votre navigateur ne supporte pas
    les vidéos HTML5 au format WebM avec VP8 ni au
    format MP4 avec H.264.
    <!-- Vous pouvez intégrer un lecteur Flash ici
    pour lire la vidéo mp4 dans les anciens navigateurs -->
</video>

Cette commande a fonctionné pour convertir une vidéo MP4 avec codec MPEG4 vers une vidéo MP4 avec codec H264 :

ffmpeg -i montage01.quicktime.mp4 -c:v libx264 -preset fast -crf 22 -c:a copy output.mp4

Source: https://trac.ffmpeg.org/wiki/Encode/H.264

https://thethemefoundry.com/blog/convert-mp4-to-webm/